10 цікавих логічних парадоксів

1. 1. Апорія «Ахіллес і черепаха»
2. 2. Парадокс тимчасової петлі
3. 3. Парадокс дівчинки і хлопчика
4. 4. Парадокс Журдена з карткою
5. 5. Софізм «Крокодил»
6. 6. Апорія «Дихотомія»
7. 7. Апорія «Летюча стріла»
8. 8. Парадокс Галілея
9. 9. Парадокс мішка картоплі
10. 10. Парадокс воронів

Вчені та мислителі з давніх часів люблять розважати себе і колег постановкою нерозв'язних завдань і формулюванням різного роду парадоксів. Деякі з подібних уявних експериментів зберігають актуальність протягом тисяч років, що свідчить про недосконалість багатьох популярних наукових моделей і «дірках» в загальноприйнятих теоріях, давно вважаються фундаментальними. Пропонуємо вам подумати над найцікавішими і дивовижними парадоксами, які, як зараз висловлюються, «підірвали мозок» не одному поколінню логіків, філософів і математиків.

1. Апорія «Ахіллес і черепаха»

Парадокс Ахіллеса і черепахи - одна з апорії (логічно вірних, але суперечливих висловлювань), сформульованих давньогрецьким філософом Зенон Елейський в V-му столітті до нашої ери. Суть її в наступному: легендарний герой Ахіллес вирішив позмагатися в бігу з черепахою. Як відомо, черепахи не відрізняються спритністю, тому Ахіллес дав супернику фору в 500 м. Коли черепаха долає цю дистанцію, герой пускається в погоню зі швидкістю в 10 разів більшою, тобто поки черепаха повзе 50 м, Ахіллес встигає пробігти дані їй 500 м фори . Потім бігун долає наступні 50 м, але черепаха в цей час відповзає ще на 5 м, здається, що Ахіллес ось-ось її наздожене, однак суперниця все ще попереду і поки він біжить 5 м, їй вдається просунутися ще на півметра і так далі. Дистанція між ними нескінченно скорочується, але по ідеї, герою так і не вдається наздогнати повільну черепаху, вона не набагато, але завжди випереджає його.

© www.student31.ru

Звичайно, з точки зору фізики парадокс не має сенсу - якщо Ахіллес рухається набагато швидше, він в будь-якому випадку вирветься вперед, проте Зенон, в першу чергу, хотів продемонструвати своїми міркуваннями, що ідеалізовані математичні поняття «точка простору» і «момент часу" не занадто підходять для коректного застосування до реального руху. Апорія виявляє розбіжність між математично обґрунтованою ідеєю, що ненульові інтервали простору і часу можна ділити нескінченно (тому черепаха повинна завжди залишатися попереду) і реальністю, в якій герой, звичайно, виграє гонку.

2. Парадокс тимчасової петлі

«Нові мандрівники в часі» Девіда Тумі

Парадокси, що описують подорожі в часі, давно служать джерелом натхнення для письменників-фантастів і творців науково-фантастичних фільмів і серіалів. Існує кілька варіантів парадоксів тимчасової петлі, один з найпростіших і наочних прикладів подібної проблеми привів у своїй книзі «The New Time Travelers» ( «Нові мандрівники в часі») Девід Тумі, професор з Університету Массачусетсу.

Уявіть собі, що мандрівник у часі купив в книжковому магазині екземпляр шекспірівського «Гамлета». Потім він відправився в Англію часів Королеви-діви Єлизавети I і відшукавши Вільяма Шекспіра, вручив йому книгу. Той переписав її і видав, як власний твір. Проходять сотні років, «Гамлета» переводять на десятки мов, нескінченно перевидають, і одна з копій виявляється в тому самому книжковому магазині, де мандрівник у часі купує її і віддає Шекспіру, а той знімає копію і так далі ... Кого в такому випадку потрібно вважати автором безсмертної трагедії?

3. Парадокс дівчинки і хлопчика

Мартін Гарднер / © www.post-gazette.com

У теорії ймовірностей цей парадокс також називають «Діти містера Сміта» або «Проблеми місіс Сміт». Вперше він був сформульований американським математиком Мартіном Гарднером в одному з номерів журналу «Scientific American». Вчені сперечаються над парадоксом вже кілька десятиліть і існує кілька способів його дозволу. Поміркувавши над проблемою, ви можете запропонувати і свій власний варіант.

У сім'ї є двоє дітей і точно відомо, що один з них - хлопчик. Яка ймовірність того, що друга дитина теж має чоловічу стать? На перший погляд, відповідь цілком очевидна - 50 на 50, або він дійсно хлопчик, або дівчинка, шанси повинні бути рівними. Проблема в тому, що для двухдетних сімей існує чотири можливих комбінації підлог дітей - дві дівчинки, два хлопчика, старший хлопчик і молодша дівчинка і навпаки - дівчинка старшого віку і хлопчик молодшого. Першу можна виключити, так як один з дітей зовсім точно хлопчик, але в такому випадку залишаються три можливих варіанти, а не два і ймовірність того, що друге чадо теж хлопчик - один шанс з трьох.

4. Парадокс Журдена з карткою

Проблему, запропоновану британським логіком і математиком Філіпом Журденом на початку XX-го століття, можна вважати одним з різновидів знаменитого парадоксу брехуна.

Філіп Журден

Уявіть собі - ви тримаєте в руках листівку, на якій написано: «Затвердження на зворотному боці листівки істинно». Перевернувши листівку, ви виявляєте фразу «Затвердження на іншій стороні ложно». Як ви розумієте, протиріччя в наявності: якщо перше твердження правдиво, то друге теж відповідає дійсності, але в такому випадку перше повинно виявитися помилковим. Якщо ж перша сторона листівки брехлива, то фразу на другий також не можна вважати справжньою, а це значить, перше твердження знову-таки стає правдою ... Ще більш цікавий варіант парадокса брехуна - в наступному пункті.

5. Софізм «Крокодил»

На березі річки стоять мати з дитиною, раптом до них підпливає крокодил і затягує дитини в воду. Невтішна мати просить повернути її чадо, на що крокодил відповідає, що згоден віддати його цілим і неушкодженим, якщо жінка правильно відповість на його питання: «Чи повернеться він її дитини?». Зрозуміло, що у жінки два варіанти відповіді - так чи ні. Якщо вона стверджує, що крокодил віддасть їй дитину, то все залежить від тварини - порахувавши відповідь правдою, викрадач відпустить дитини, якщо ж він скаже, що мати помилилася, то дитини їй не бачити, згідно з усіма правилами договору.

© Коракс Сіракузького

Негативна відповідь жінки все значно ускладнює - якщо він виявляється вірним, викрадач повинен виконати умови угоди і відпустити дитя, але таким чином відповідь матері не відповідатиме дійсності. Щоб забезпечити брехливість такої відповіді, крокодилу потрібно повернути дитину матері, але це суперечить договору, адже її помилка повинна залишити чадо у крокодила.

Варто зазначити, що угода, запропонована крокодилом, містить логічне протиріччя, тому його обіцянку неможливо. Автором цього класичного софізму вважається оратор, мислитель і політичний діяч Коракс Сіракузького, що жив в V-му столітті до нашої ери.

6. Апорія «Дихотомія»

© www.student31.ru

Ще один парадокс від Зенона елейскої, що демонструє некоректність ідеалізованої математичної моделі руху. Проблему можна поставити так - скажімо, ви поставили собі за мету пройти якусь вулицю вашого міста від початку і до кінця. Для цього вам необхідно подолати першу її половину, потім половину половини,, далі половину наступного відрізка і так далі. Інакше кажучи - ви проходите половину всього відстані, потім чверть, одну восьму, одну шістнадцяту - кількість зменшуються відрізків шляху прямує до нескінченності, так як будь-яку частину можна розділити надвоє, значить пройти весь шлях цілком неможливо. Формулюючи кілька надуманий на перший погляд парадокс, Зенон хотів показати, що математичні закони суперечать реальності, адже насправді ви можете без труднощів пройти все відстань без залишку.

7. Апорія «Летюча стріла»

Знаменитий парадокс Зенона елейскої зачіпає глибокі розбіжності в уявленнях вчених про природу руху і часу. Апорія сформульована так: стріла, випущена з лука, залишається нерухомою, так як в будь-який момент часу вона мешкає, не здійснюючи переміщення. Якщо в кожен момент часу стріла спочиває, значить вона завжди знаходиться в стані спокою і не рухається взагалі, так як немає моментів часу, в який стріла переміщається в просторі.

© www.academic.ru

Видатні уми людства століттями намагаються розв'язати парадокс стріли, що летить, проте з логічної точки зору він складений абсолютно вірно. Для його спростування потрібно пояснити, яким чином кінцевий часовий відрізок може складатися з нескінченного числа моментів часу - довести це не вдалося навіть Арістотелем, переконливо критикував апорію Зенона. Аристотель справедливо вказував, що відрізок часу можна вважати сумою деяких неподільних ізольованих моментів, проте багато вчених вважають, що його підхід не відрізняється глибиною і не спростовує наявність парадокса. Варто відзначити, що постановкою проблеми стріли, що летить Зенон прагнув спростувати можливість руху, як таку, а виявити суперечності в ідеалістичних математичних концепціях.

8. Парадокс Галілея

Галілео Галілей / © Wikimedia

У своїй праці «Бесіди і математичні докази, що стосуються двох нових галузей науки» Галілео Галілей запропонував парадокс, що демонструє цікаві властивості нескінченних множин. Вчений сформулював два суперечать один одному судження. Перше: є числа, що представляють собою квадрати інших цілих чисел, наприклад 1, 9, 16, 25, 36 і так далі. Існують і інші числа, у яких немає цього властивості - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 і тому подібні. Таким чином, загальна кількість точних квадратів і звичайних чисел повинно бути більше, ніж кількість тільки точних квадратів. Друге судження: для кожного натурального числа знайдеться його точний квадрат, а для кожного квадрата існує цілий квадратний корінь, тобто, кількість квадратів дорівнює кількості натуральних чисел.

На підставі цього протиріччя Галілей зробив висновок, що міркування про кількість елементів застосовані тільки до кінцевих множин, хоча пізніше математики ввели поняття, потужності безлічі - з його допомогою була доведена вірність другого судження Галілея і для нескінченних множин.

9. Парадокс мішка картоплі

© nieidealne-danie.blogspot.com

Припустимо, у якогось фермера є мішок картоплі вагою рівно 100 кг. Вивчивши його вміст, фермер виявляє, що мішок зберігався в вогкості - 99% його маси складає вода і 1% інші речовини, що містяться в картоплі. Він вирішує трохи висушити картопля, щоб вміст води в ньому знизилося до 98% і переносить мішок в сухе місце. На наступний день виявляється, що, один літр (1 кг) води дійсно випарувався, але вага мішка зменшився з 100 до 50 кг, як таке може бути? Давайте порахуємо - 99% від 100 кг це 99 кг, значить співвідношення маси сухого залишку і маси води спочатку було одно 1/99. Після сушіння вода налічує 98% від загальної маси мішка, значить співвідношення маси сухого залишку до маси води тепер становить 1/49. Так як маса залишку не змінилася, залишилася вода важить 49 кг.

Звичайно, уважний читач відразу виявить грубу математичну помилку в розрахунках - уявний жартівливий «парадокс мішка картоплі» можна вважати відмінним прикладом того, як за допомогою на перший погляд «логічних» і «науково підкріплених» міркувань можна буквально на порожньому місці збудувати теорію, яка суперечить здоровому глузду.

10. Парадокс воронів

Карл Густав Гемпель / © Wikimedia

Проблема також відома, як парадокс Гемпеля - друга назва вона отримала на честь німецького математика Карла Густава Гемпеля, автора її класичного варіанта. Проблема формулюється досить просто: кожен ворон має чорний колір. З цього випливає, що все, що не чорного кольору, не може бути вороном. Цей закон називається логічна контрапозиции, тобто якщо якась посилка «А» має наслідок «Б», то заперечення «Б» рівнозначно запереченню «А». Якщо людина бачить чорного ворона, це зміцнює його впевненість, що всі ворони мають чорне забарвлення, що цілком логічно, проте відповідно до контрапозиции і принципом індукції, закономірно стверджувати, що спостереження предметів не чорного кольору (скажімо, червоних яблук) також доводить, що всі ворони пофарбовані в чорний колір. Іншими словами - те, що людина живе в Санкт-Петербурзі доводить, що він живе не в Москві.

З точки зору логіки парадокс виглядає бездоганно, проте він суперечить реальному житті - червоні яблука жодним чином не можуть підтверджувати той факт, що всі ворони чорного кольору.