Правило Верещагіна (спосіб перемноження епюр)

У багатьох випадках інтегрування по Мору можна уникнути і застосувати спосіб «перемноження» епюр. Одним з таких способів є спосіб Сімпсона, але також можна визначити переміщення за способом (правилом) Верещагіна . цей спосіб А.К. Верещагін запропонував в 1924 році, будучи студентом.

Розглянемо послідовність дій за правилом Верещагіна . Початковий етап такий же, як за формулою Мора і способу Сімпсона, тобто спочатку будується вантажна епюра від діючих навантажень (дійсний стан), потім розглядаємо балку у допоміжному стані. Допоміжне стан отримують у такий спосіб: спочатку всю задану навантаження потрібно видалити, потім прикласти «одиничний силовий фактор» в тому місці, де потрібно визначити переміщення, і у напрямку цього шуканого переміщення. Причому, коли визначаємо лінійне переміщення (прогин балки), то в якості «одиничного силового фактора» приймається зосереджена сила, що дорівнює одиниці, а якщо потрібно знайти кут повороту, то докласти слід зосереджену пару сил, момент, що дорівнює одиниці. Будується епюра одиничних моментів або епюра від одиничної навантаження. Далі переміщення обчислюється за формулою:

, Де в чисельнику - твір площі вантажної епюри на ординату одиничної (обов'язково прямолінійною), взятої під центром ваги вантажної епюри, а в знаменнику - жорсткість перерізу.

Цей спосіб стає зрозумілим, якщо довести, що результат перемноження двох епюр, одна і яких довільна, а інша лінійна, дорівнює добутку площі вантажної епюри на ординату одиничної, взятої під центром ваги вантажної епюри.

Слід мати на увазі, що способи «перемноження» епюр застосовні тільки при наявності двох умов:

1. Згинальна жорсткість балки на даній ділянці повинна бути постійною (EI = Const),
2. Одна з двох епюр моментів на цій ділянці (вантажна або одинична) повинна бути обов'язково лінійної. При цьому обидві епюри не повинні в межах даної ділянки мати перелому.

Нехай вантажна епюра довільна, а одинична лінійна (так як одиничної навантаженням буває зазвичай або зосереджена сила, або пара сил, то одинична епюра М 0 виявляється обмеженою прямими лініями). Нехай вантажна епюра М (z) має криволінійний обрис, а епюра М0 - прямолінійний (див. Малюнок). твір, добуток можна розглядати як елемент площі епюри М, заштрихованої на малюнку.

Так як ордината М 0 дорівнює то твір , А весь інтеграл , де

- статичний момент площі епюри М (z) щодо осі ординат

Але! Статичний момент площі, як відомо, цей твір самої площі на координату центру тяжіння. тоді

, де - це

ордината в одиничної епюр, розташованої під центром ваги вантажної епюри. Остаточно, переміщення одно:

Таким чином, результат перемноження двох епюр дорівнює добутку площі вантажної епюри на ординату інший (обов'язково прямолінійною), взятої під центром ваги вантажної епюри.

Правило знаків: якщо обидві «перемножуємо» ординати в двох епюрах розташовані по одну сторону від осі епюри (тобто вони одного знака), то перед їх твором ми повинні поставити знак «плюс», а якщо вони по різні сторони від осі епюри, то перед твором ставимо знак «мінус».