Вся елементарна математика - Навчальний посібник - Алгебра - Системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими ...

Системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими.

Основні методи вирішення: підстановка, додавання чи віднімання.

Визначники другого порядку. Правило Крамера.

Дослідження рішень сістемиуравненій.

Системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими мають вигляд:

Системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими мають вигляд:

де a, b, c, d, e, f - задані числа; x, y - невідомі. Числа a, b, d, e - коефіцієнти при невідомих; c, f - вільні члени. Вирішення цієї системи рівнянь може бути знайдено двома основними методами.

Метод підстановки.

1) З одного рівняння висловлюємо одне з невідомих, наприклад

через коефіцієнти і інше невідомий ве y:

x = (c - by) / a. (2)

2) Підставляємо в друге рівняння замість x:

d (c - by) / a + ey = f.

3) Вирішуючи останнє рівняння, знаходимо y:

y = (af - cd) / (ae - bd).

4) Підставляємо це значення замість y в вираз (2):

x = (ce - bf) / (ae - bd).

П р и м і р. Вирішити систему рівнянь:

З першого рівняння висловимо х через коефіцієнти і y:

x = (2 y + 4) / 3.

Підставляємо це вираз у друге рівняння і знаходимо y:

(2 y + 4) / 3 + 3 y = 5, звідки y = 1.

Тепер знаходимо х, підставляючи знайдене значення замість y в

вираз для х: x = (2 · 1 + 4) / 3, звідки x = 2.

Додавання або віднімання. Цей метод полягає в наступному.

1) Множимо обидві частини 1-го рівняння системи (1) на (- d), а обидві частини 2-го рівняння на а і складаємо їх:

Звідси отримуємо: y = (af - cd) / (ae - bd).

2) Підставляємо знайдене для y значення в будь-яке рівняння системи (1):

ax + b (af - cd) / (ae - bd) = c.

3) Знаходимо інше невідоме: x = (ce - bf) / (ae - bd).

П р и м і р. Вирішити систему рівнянь:

методом додавання або віднімання.

Множимо перше рівняння на -1, друге - на 3 і складаємо їх:

звідси y = 1. Підставляємо це значення в друге рівняння

(а на початку можна?): 3 x + 9 = 15, звідси x = 2.

Визначники другого порядку. Ми бачили, що формули для вирішення системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими мають вигляд:

x = (ce - bf) / (ae - bd),

(3)

y = (af - cd) / (ae - bd).

Ці формули легко запам'ятовуються, якщо ввести для їх числителей і знаменників наступний символ:

, який буде позначати вираз: ps - qr , який буде позначати вираз: ps - qr.

Цей вислів виходить перехресним множенням чисел p, q, r, s:

і подальшим відніманням одного твору з іншого: ps - qr. Знак «+» береться для твори чисел, що лежать на діагоналі, що йде з лівого верхнього числа до правого нижнього; знак «-» - для іншої діагоналі, що йде з правого верхнього числа до лівого нижнього. наприклад,

вираз називається визначником другого порядку
вираз називається визначником другого порядку.

Правило Крамера. Використовуючи визначники, можна переписати формули (3):

Формули (4) називаються правилом Крамера для системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими.

П р и м і р. Вирішити систему рівнянь

Вирішити систему рівнянь

використовуючи правило Крамера.

Рішення . Тут a = 1, b = 1, c = 12, d = 2, e = - 3, f = 14.

Дослідження рішень системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими, показує, що в залежності від коефіцієнтів рівнянь можливі три різних випадки:

1) коефіцієнти при невідомих не пропорційні: a: d ≠ b: e,

в цьому випадку система лінійних рівнянь має єдине рішення, що отримується за формулами (4);

2) всі коефіцієнти рівнянь пропорційні: a: d = b: e = c: f,

в цьому випадку система лінійних рівнянь має безліч рішень Вік тора, так як тут ми маємо фактично одне рівняння замість двох.

П р и м і р. В системі рівнянь