Завдання двох тіл

1. Рух центру мас (перше завдання) [ правити | правити код ]
2. Рух вектора зміщення (друге завдання) [ правити | правити код ]
3. Рішення задачі двох тіл для гравітаційних сил [ правити | правити код ]
4. Загальне рішення для сили, яка залежить від відстані [ правити | правити код ]
5. застосування [ правити | правити код ]

В класичній механіці , Завдання двох тіл полягає в тому, щоб визначити рух двох точкових частинок, які взаємодіють тільки один з одним. Поширені приклади включають супутник , Що обертається навколо планети , Планета, що обертається навколо зірки , Дві зірки, що обертаються навколо один одного ( подвійна зірка ), І класичний електрон , Що рухається навколо атомного ядра .

завдання двох тел можна уявити як дві незалежні завдання одного тіла, які залучають рішення для руху однієї частинки в зовнішньому потенціалі . Так як багато завдань з одним тілом можуть бути вирішені точно, відповідне завдання з двома тілами також може бути вирішена. На відміну від цього, завдання з трьома тілами (І, більш широко, задача n тел ) Не може бути вирішена, крім спеціальних випадків.

Нехай r 1 {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}} і r 2 {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}} радіус-вектори двох тіл, а m 1 {\ displaystyle m_ {1}} і m 2 {\ displaystyle m_ {2}} їх маси. Наша мета визначити траєкторії r 1 (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} (t)} і r 2 (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2} (t)} для будь-якого часу t {\ displaystyle t} , При заданих початкових координатах

r 1 (0) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} (0)} , R 2 (0) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2} (0)}

і швидкостях

r ˙ 1 (0) {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {1} (0)} , R ˙ 2 (0) {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {2} (0)} .

Другий закон Ньютона стосовно до даної системи стверджує, що

F 12 (r 1, r 2) = m 1 r ¨ 1 (1) {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2} ) = m_ {1} {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {1} \ quad \ quad \ quad (1)} F 21 (r 1, r 2) = m 2 r ¨ 2 (2) {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21} (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2} ) = m_ {2} {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {2} \ quad \ quad \ quad (2)}

де

F 12 {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12}} - сила, що діє на перше тіло з-за взаємодії з другим тілом, і F 21 {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21}} - сила, що діє на друге тіло з боку першого.

Складаючи і віднімаючи ці два рівняння, можна розділити одну задачу на дві задачі з одним тілом, які можуть бути вирішені незалежно. «Додавання» рівнянь (1) і (2) приводить до рівняння, що описує рух центру мас . На відміну від цього, «віднімання» рівняння (2) з рівняння (1) приводить до рівняння, яке описує, як вектор r ≡ r 1 - r 2 {\ displaystyle \ mathbf {r} \ equiv \ mathbf {r} _ { 1} - \ mathbf {r} _ {2}} між масами змінюється з часом. Вирішення цих незалежних завдань може допомогти в знаходженні траєкторій r 1 (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} (t)} і r 2 (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2} (t)} .

Рух центру мас (перше завдання) [ правити | правити код ]

Додавання рівнянь (1) і (2) призводить до рівності

m 1 r ¨ 1 + m 2 r ¨ 2 = (m 1 + m 2) r ¨ cm = F 12 + F 21 = 0 {\ displaystyle m_ {1} {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ { 1} + m_ {2} {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {cm} = \ mathbf {F} _ {12} + \ mathbf {F} _ {21} = 0}

де ми використовували третій закон Ньютона F 12 = - F 21 {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}} і де

rcm ≡ m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {cm} \ equiv {\ frac {m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ { 2} \ mathbf {r} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

позиція центру мас системи. Рівняння в результаті запишеться у вигляді

r ¨ c m = 0 {\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {cm} = 0}

Воно показує, що швидкість r ˙ c m {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {cm}} центру мас постійна. Звідси випливає, що повний момент кількості руху m 1 r ˙ 1 + m 2 r ˙ 2 {\ displaystyle m_ {1} {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {1} + m_ {2} {\ dot { \ mathbf {r}}} _ {2}} також зберігається ( збереження імпульсу ). Позиція і швидкість центру мас може бути отримана в будь-який момент часу.

Рух вектора зміщення (друге завдання) [ правити | правити код ]

Віднімаючи рівняння (2) з рівняння (1) і перетворюючи приходимо до рівняння

r ¨ 1 - r ¨ 2 = (F 12 m 1 - F 21 m 2) = (1 m 1 + 1 m 2) F 12 {\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {1} - {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {2} = \ left ({\ frac {\ mathbf {F} _ {12}} {m_ {1}}} - {\ frac {\ mathbf {F} _ {21}} {m_ {2}}} \ right) = \ left ({\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ right) \ mathbf {F} _ {12}}

де ми знову використовували третій закон Ньютона F 12 = - F 21 {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}} і де r {\ displaystyle \ mathbf {r}} (Певний вище) - вектор зміщення, спрямований від другого тіла до першого.

Сила між двома тілами повинна бути функцією лише r {\ displaystyle \ mathbf {r}} а не абсолютних положень r 1 {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}} і r 2 {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}} ; в іншому випадку завдання не має трансляційної симетрії , Тобто закони фізики змінювалися б від точки до точки. Таким чином можна записати:

mr ¨ = F 12 (r 1, r 2) = F (r) {\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {F} _ {12} (\ mathbf {r} _ { 1}, \ mathbf {r} _ {2}) = \ mathbf {F} (\ mathbf {r})}

де m {\ displaystyle m} - зведена маса .

m = 1 1 m 1 + 1 m 2 = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\ displaystyle m = {\ frac {1} {{\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac { 1} {m_ {2}}}}} = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

Як тільки ми знайдемо рішення для r c m (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {cm} (t)} і r (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} (t)} , Початкові траєкторії можна записати у вигляді

r 1 (t) = rcm (t) + m 2 m 1 + m 2 r (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} (t) = \ mathbf {r} _ {cm} (t) + {\ frac {m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ mathbf {r} (t)} r 2 (t) = rcm (t) - m 1 m 1 + m 2 r (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2} (t) = \ mathbf {r} _ {cm} (t) - {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ mathbf {r} (t)}

як може бути показано підстановкою в рівняння для r c m (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {cm} (t)} і r (t) {\ displaystyle \ mathbf {r} (t)} .

Рішення задачі двох тіл для гравітаційних сил [ правити | правити код ]

Нехай між тілами діє гравітаційне тяжіння. Сила, що діє між ними, дорівнює:

F (r) = - G m 1 m 2 r r 3. {\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - Gm_ {1} m_ {2} {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}}.}

Рівняння руху запишеться як

mr ¨ = - G m 1 m 2 rr 3, {\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {r}}} = - Gm_ {1} m_ {2} {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}}}

або

r ¨ = - μ r r 3, {\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} = - {\ frac {\ mu \ mathbf {r}} {r ^ {3}}}} де μ = G (m 1 + m 2). (3) {\ displaystyle \ mu = G (m_ {1} + m_ {2}). \; \; \; (3)}

Векторно множачи останнє рівняння на r і інтегруючи, отримаємо

r × r ¨ = 0; {\ Displaystyle \ mathbf {r} \ times {\ ddot {\ mathbf {r}}} = 0;} r × r ˙ = h. {\ Displaystyle \ mathbf {r} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {h}.}

Постійний вектор h, що є постійною інтегрування, називається кінетичним моментом системи. Взаємне рух тіл відбувається в площині, перпендикулярній цьому вектору. Введемо систему циліндричних координат r, φ, z. Одиничні вектори вздовж радіальної, трансверсальної і вертикальної осі позначимо як i, j і k. Проекції швидкості на радіальну і трансверсально осі складуть

r ˙ r = i r ˙; r ˙ φ = j r φ ˙, r ˙ = i r ˙ + j r φ ˙. {\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {r} = \ mathbf {i} {\ dot {r}}; ~~~ {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {\ phi } = \ mathbf {j} r {\ dot {\ phi}}, ~~~ {\ dot {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {i} {\ dot {r}} + \ mathbf {j} r {\ dot {\ phi}}.}

тоді

r × r ˙ = h; {\ Displaystyle \ mathbf {r} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {h};} i r × (i r ˙ + j r φ ˙) = k h; {\ Displaystyle \ mathbf {i} r \ times (\ mathbf {i} {\ dot {r}} + \ mathbf {j} r {\ dot {\ phi}}) = \ mathbf {k} h;} i r × j r φ ˙ = k h; {\ Displaystyle \ mathbf {i} r \ times \ mathbf {j} r {\ dot {\ phi}} = \ mathbf {k} h;} k r 2 φ ˙ = k h; {\ Displaystyle \ mathbf {k} r ^ {2} {\ dot {\ phi}} = \ mathbf {k} h;} r 2 φ ˙ = h. {\ Displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ phi}} = h.}

У лівій частині останнього виразу варто подвоєна площа трикутника, описуваного радіус-вектором r за одиницю часу. Таким чином, це співвідношення є математичною записом другого закону Кеплера.

Рівняння (3) множимо скалярно на швидкість і інтегруємо. отримаємо

v 2 + 2 - μ r = C. {\ Displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ mu} {r}} = C.}

Останнє співвідношення є вираженням закону збереження механічної енергії в системі.

Чудово, що рух двох тіл завжди відбувається в площині. визначимо лінійний імпульс p = μ r ˙ {\ displaystyle \ mathbf {p} = \ mu {\ dot {\ mathbf {r}}}} і кутовий момент

L = r × p {\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}

Швидкість зміни кутового моменту дорівнює моменту сили N {\ displaystyle \ mathbf {N}}

d L dt = r ˙ × μ r ˙ + r × μ r ¨ = r × F = N {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = {\ dot {\ mathbf {r} }} \ times \ mu {\ dot {\ mathbf {r}}} + \ mathbf {r} \ times \ mu {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F } = \ mathbf {N}}

Однак закони руху Ньютона виконуються для всіх фізичних сил, і свідчать, що сила, що діє між двома частинками (матеріальними точками) спрямована по лінії що з'єднує їх положення, тобто F | | r {\ displaystyle \ mathbf {F} || \ mathbf {r}} . Звідси r × F = 0 {\ displaystyle \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = 0} і кутовий момент зберігається . Тоді вектор зміщення r {\ displaystyle \ mathbf {r}} і його швидкість r ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}}} лежать в площині перпендикулярній постійному вектору L {\ displaystyle \ mathbf {L}} .

Загальне рішення для сили, яка залежить від відстані [ правити | правити код ]

Часто корисно перейти в полярні координати , Оскільки рух відбувається в площині і для багатьох фізичних завдань сила F (r) {\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r})} є функцією радіуса r {\ displaystyle r} ( центральні сили ). Оскільки r-компонента прискорення дорівнює r ¨ - r θ ˙ 2 {\ displaystyle {\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}} , Рівняння для r-компоненти вектора зміщення μ r ¨ = F (r) ≡ F (r) {\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {F} (r) \ equiv F ( r)} можна переписати у вигляді

μ d 2 rdt 2 - μ r ω 2 = μ d 2 rdt 2 - L 2 μ r 3 = F (r) {\ displaystyle \ mu {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}} } - \ mu r \ omega ^ {2} = \ mu {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu r ^ { 3}}} = F (r)}

де ω ≡ θ ˙ {\ displaystyle \ omega \ equiv {\ dot {\ theta}}} і кутовий момент L = μ r 2 ω {\ displaystyle L = \ mu r ^ {2} \ omega} зберігається. Збереження кутового моменту дозволять знайти рішення для траєкторії r (θ) {\ displaystyle r (\ theta)} використовуючи заміну змінних. Переходячи від t {\ displaystyle t} до θ {\ displaystyle \ theta}

ddt = L μ r 2 dd θ {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} = {\ frac {L} {\ mu r ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ theta}} }

отримаємо рівняння руху

L r 2 dd θ (L μ r 2 drd θ) - L 2 μ r 3 = F (r) {\ displaystyle {\ frac {L} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left ({\ frac {L} {\ mu r ^ {2}}} {\ frac {dr} {d \ theta}} \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu r ^ {3}}} = F (r)}

Це рівняння стає квазілінейним при заміні змінних u ≡ 1 r {\ displaystyle u \ equiv {\ frac {1} {r}}} і множення обох частин рівняння на μ r 2 L 2 = μ L 2 u 2 {\ displaystyle {\ frac {\ mu r ^ {2}} {L ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {L ^ {2} u ^ {2}}}}

d 2 ud θ 2 + u = - μ L 2 u 2 F (1 / u) {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = - {\ frac {\ mu} {L ^ {2} u ^ {2}}} F (1 / u)}

застосування [ правити | правити код ]

Для сил F {\ displaystyle F} назад пропорційних квадрату відстані, таких як гравітація або електростатика в класичної фізики отримаємо

F = α r 2 = α u 2 {\ displaystyle F = {\ frac {\ alpha} {r ^ {2}}} = \ alpha u ^ {2}}

для деяких констант α {\ displaystyle \ alpha} , Рівняння для траєкторій стає лінійним

d 2 ud θ 2 + u = α μ L 2 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {\ alpha \ mu} {L ^ {2}}}}

Рішення цього рівняння

u (θ) ≡ 1 r (θ) = α μ L 2 + A cos ⁡ (θ - θ 0) {\ displaystyle u (\ theta) \ equiv {\ frac {1} {r (\ theta)}} = {\ frac {\ alpha \ mu} {L ^ {2}}} + A \ cos (\ theta - \ theta _ {0})}

де A> 0 {\ displaystyle A> 0} і θ 0 {\ displaystyle \ theta _ {0}} константи. Це рішення показує, що орбіта являє собою конічний перетин , тобто еліпс , гіперболу або параболу , В залежності від того менше A {\ displaystyle A} вираження α μ L 2 {\ displaystyle {\ frac {\ alpha \ mu} {L ^ {2}}}} , більше або дорівнює.

Нормальна орбіта будь-якого тіла, захопленого тяжінням іншого тіла, являє собою еліпс або коло - саме такі орбіти ми спостерігаємо в Сонячній системі. Однак, загальна теорія відносності стверджує, що в околицях вкрай масивних тіл - там, де простір виявляється сильно викривлене завдяки наявності колосального гравітаційного поля - спектр можливих стабільних орбіт значно розширюється, Навпаки, стійкі в класичній задачі двох тіл орбіти виявляються нестійкими в релятивістської задачі двох тіл. При малих відстанях від притягає центру зникає існуючий в класичній кеплеровской завданню «відцентровий бар'єр», який дозволить пробної частинки впасти на притягає центр.

Насправді навіть у відносно слабкому гравітаційному полі в Сонячній системі спостерігаються релятивістські відхилення від класичних еліптичних орбіт. Таке відхилення для Меркурія (поворот перигелію орбіти зі швидкістю близько 43 кутових секунд за століття), що не пророкує ньютонівської механікою, було відомо задовго до створення загальної теорії відносності, яка змогла пояснити цей раніше загадковий ефект.

Будь-яка класична система, що складається з двох частинок, за визначенням завдання двох тіл. У багатьох випадках, однак, одне тіло багато важче іншого, як наприклад в системі земля і сонце . У таких випадках більш важка частка грає роль центру мас і завдання зводиться до задачі про руху одного тіла в потенційному поле іншого тіла [1] .

Власне, закон всесвітнього тяжіння Ньютона розглядає саме таку ситуацію, до сих пір на планеті його точності вистачає з величезним надлишком. Однак, при цьому не слід забувати, що з'являється ризик втрати необхідної для реальних дій точності розрахунків - при зловживанні спрощенням. Зокрема, без урахування взаємодії мас або, іншими словами, гравітаційно-інерційних потенціалів обох тел [2] [3] неможливі сучасні космічні розрахунки. Знаходження місця центру обертання в більш потужному тілі розпливчасто, і в реаліях ще потрібен облік інших тіл і полів. Необхідний попередній аналіз, особливо при розрахунку усталених і стаціонарних орбіт: багаторазове обертання неминуче накопичить неточності до неприйнятною величини помилки.